Paradoja del hotel infinito, no todos los infinitos son iguales de grandes

La paradoja del hotel infinito es un concepto fascinante que desafía nuestra comprensión de los números infinitos. A primera vista, podría parecer que todos los infinitos son del mismo tamaño, pero esta paradoja demuestra lo contrario. En este artículo, exploraremos en profundidad esta paradoja y descubriremos cómo los infinitos pueden ser de diferentes tamaños.

La imagen del hotel

Imaginemos un hotel con un número infinito de habitaciones, numeradas desde el uno hasta el infinito. El hotel está completamente lleno, con un huésped en cada habitación. Hasta aquí, todo parece normal. Sin embargo, de repente llega un nuevo huésped al hotel y pide una habitación.

El administrador del hotel, que es un apasionado de las matemáticas, encuentra una solución sorprendente. Mueve al huésped de la habitación uno a la habitación dos, al huésped de la habitación dos a la habitación tres, y así sucesivamente. De esta manera, el huésped nuevo puede ocupar la habitación uno.

Pero la paradoja no termina aquí. Ahora llega un grupo de huéspedes infinito al hotel, cada uno pidiendo una habitación. El administrador, con su ingenio matemático, nuevamente encuentra una solución. Mueve al huésped de la habitación uno a la habitación tres, al huésped de la habitación dos a la habitación seis, al huésped de la habitación tres a la habitación nueve, y así sucesivamente. De esta manera, todos los huéspedes nuevos pueden tener una habitación.

Números naturales y números pares

Parecería que el hotel puede acomodar a cualquier número infinito de huéspedes nuevos sin problemas. Sin embargo, esto no significa que todos los infinitos sean del mismo tamaño. Si enumeramos los números naturales (1, 2, 3, 4, …) y los números pares (2, 4, 6, 8, …), podemos ver que hay una correspondencia uno a uno entre los números naturales y los números pares.

Esto significa que el conjunto de números naturales y el conjunto de números pares tienen el mismo tamaño infinito, lo que se conoce como «infinito contable». Sin embargo, los números reales entre 0 y 1 (por ejemplo, 0.1, 0.01, 0.001, …) tienen un tamaño infinito mayor que el conjunto de números naturales. Esta diferencia en el tamaño de los infinitos se conoce como «infinito no contable».

Niveles de infinitud

La paradoja del hotel infinito demuestra que aunque parezca que todos los infinitos son del mismo tamaño, en realidad hay diferentes niveles de infinitud. El conjunto de números naturales es infinitamente más pequeño que el conjunto de números reales entre 0 y 1.

Esta idea desafía nuestra intuición y nos muestra que los conceptos matemáticos pueden ser más complejos de lo que imaginamos. La paradoja del hotel infinito nos invita a reflexionar sobre la naturaleza de los infinitos y cómo los números pueden comportarse de manera sorprendente.

Esta paradoja es un ejemplo fascinante de cómo las matemáticas pueden desafiar nuestras ideas preconcebidas y abrirnos a nuevas formas de pensar. Así que la próxima vez que te encuentres en un hotel, recuerda la paradoja del hotel infinito y maravíllate ante la maravillosa complejidad de los números.