Paradoja de Monty Hall: la explicación simple del acertijo que engaña a todo el mundo

La Paradoja de Monty Hall se popularizó a partir del concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal, presentado por Monty Hall. Es un fascinante problema de probabilidad que desafía la intuición y el sentido común de la mayoría de las personas. Veamos de qué se trata.

Origen de la paradoja

La paradoja toma su nombre de Monty Hall, presentador del popular concurso estadounidense Let’s Make a Deal, emitido durante varias décadas a partir de los años sesenta. En el programa, los participantes debían elegir entre tres puertas: una escondía un gran premio y las otras dos, premios sin valor.

Aunque el juego formaba parte del concurso, el problema saltó a la fama en 1990, cuando apareció en una columna de divulgación matemática escrita por Marilyn vos Savant. La respuesta provocó una avalancha de cartas de protesta, incluidas las de matemáticos convencidos de que la solución era errónea. Con el tiempo, se demostró que la explicación era correcta, y la paradoja se convirtió en un referente del pensamiento probabilístico.

La Paradoja de Monty Hall

Ubícate en el escenario de un concurso televisivo. Frente a ti hay tres puertas. Detrás de una hay un automóvil nuevo; detrás de las otras dos, hay cabras. Tu objetivo es adivinar cuál es la puerta correcta.

Tú eliges, digamos, la puerta 1. En ese momento, el presentador, que sabe exactamente dónde está el coche, hace algo clave: abre una de las otras dos puertas, por ejemplo, la puerta 3, y revela una cabra. Ahora solo quedan cerradas la puerta 1 y la 2.

El presentador te ofrece una oportunidad: ¿Quieres cambiar tu elección y llevarte lo que hay detrás de la puerta 2? La pregunta parece trivial. La intuición nos grita que las probabilidades son 50% para cada una. Cambiar o no, parecería no influir.

Sin embargo, la realidad matemática es contraintuitiva: si tú cambias de puerta, duplicas tus posibilidades de ganar el coche. Esta es la famosa Paradoja de Monty Hall, un acertijo que ha desconcertado a millones de personas desde los años noventa.

¿Por qué no es 50/50?

El error común es pensar que, una vez revelada una cabra, el juego “se reinicia” y ambas puertas restantes tienen la misma probabilidad. Pero no es así. La probabilidad no se redistribuye equitativamente porque el presentador no actúa al azar.

Analicemos esto paso a paso:

• Elección inicial. Cuando eliges una puerta al azar entre tres, la probabilidad de que hayas acertado el coche es 1 entre 3 (33.3%). La probabilidad de que el coche esté detrás de una de las otras dos puertas es de 2 a 3 (66.6%).
• Acción del presentador. El presentador siempre abrirá una puerta que cumpla dos condiciones: a) No es la puerta que elegiste; y b) Es una puerta que tiene una cabra. Esta acción no es aleatoria, sino una pista forzada.
• La transferencia de probabilidad. Aquí está el corazón del problema. Tu puerta inicial mantiene su probabilidad original. El presentador, al abrir una puerta perdedora, concentra toda la probabilidad en la única puerta que queda sin abrir de ese grupo (Puerta 2).

En esencia, al ofrecerte cambiar, el presentador te está diciendo: “¿Prefieres quedarte con tu puerta original (33% de probabilidad) o quieres llevarte lo que hay detrás de las dos puertas que no elegiste (66% de probabilidad)?”.

Jugar muchas veces

La intuición y la comprensión mejoran cuando escalamos el problema. Piensa en jugar 300 veces. Los cálculos indican que en aproximadamente 100 de esas partidas, tu elección inicial será correcta. Si cambias en todas, pierdes estas 100 veces.

En las otras 200 partidas, el coche estará detrás de una de las dos puertas que no elegiste. En estos casos, el presentador está obligado a abrir la otra puerta con cabra, dejando cerrada solo la puerta con el coche. Si tú cambias, ganas estas 200 veces.

Así pues:

• Estrategia “Nunca cambiar”: Ganas más o menos100 de 300 veces (33%).
• Estrategia “Siempre cambiar”: Ganas más o menos 200 de 300 veces (66%).

La versión extrema: 100 puertas

Para dejar la intuición completamente clara, imagina el mismo juego, pero con 100 puertas. Solo una tiene un coche. En ese caso, al elegir una puerta tus posibilidades de acertar son de 1 entre 100.

Como el presentador sabe dónde está el coche, abre las 98 puertas que tienen cabras y deja cerradas solo dos: tu elegida y otra más. ¿Crees que ahora ambas puertas tienen un 50% de probabilidad?

Tu puerta original todavía tiene una posibilidad remota de 1/100. La puerta que el presentador decidió no abrir concentra toda la probabilidad del grupo de las 99 puertas que no elegiste inicialmente, es decir, 99/100.

Por qué resulta tan contraintuitiva

La paradoja desconcierta porque solemos ignorar la información implícita en la acción del presentador. Su decisión depende de saber dónde está el premio, y eso cambia todo el escenario. Nuestra mente tiende a simplificar el problema, igual que ocurre en ciertos razonamientos matemáticos profundos, como el teorema del punto fijo de Brouwer.

Lecturas recomendadas

Análisis semiótico teorema Monty Hall

Problema de Monty Hall