Curiosidades

Uno de los teoremas más curiosos de las matemáticas

Geometría teórica: ¿sabes qué es la paradoja de Banach-Tarski?

Geometría teórica: ¿sabes qué es la paradoja de Banach–Tarski?

Se le da el nombre de ‘Paradoja de Banach-Tarski’ a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.

Para que lo entendamos en pocas palabras, la paradoja de Banach-Tarski se refiere a la posibilidad de duplicar objetos por medio de cortes, muy poco convencionales, para formar otros exactamente iguales al inicial, simplemente ensamblando las piezas.

Paradoja de Banach-Tarski: Stephan Banach y Alfred Tarski
Stephan Banach y Alfred Tarski

Entendiendo la paradoja Banach-Tarski

La paradoja de Banach-Tarski dice lo siguiente: “Es posible partir una esfera maciza en ocho trozos ‘disjuntos’ de forma que recomponiéndolos mediante movimientos rígidos obtengamos dos esferas macizas de las mismas dimensiones que la original”.

Otra forma equivalente de enunciarlo es: “Una bola puede ser troceada en un número finito de partes, las cuales, haciendo uso únicamente de giros y traslaciones, pueden ser ensambladas para formar dos bolas separadas de idéntico radio a la de partida.

Paradoja de Banach-Tarski: Tridimensionalidad
Una de las paradojas tridimensionales más curiosas

¿Esto qué significa?

En otras palabras, es posible fabricar un puzzle de ocho piezas que, combinadas de una determinada manera, formen una esfera llena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formen dos esferas llenas (sin agujeros) del mismo radio, tal y como ilustra la figura:

Paradoja de Banach-Tarski: Figuras esféricas
Según ambos matemáticos, sería posible duplicar figuras esféricas

Pero entonces, si podemos duplicar alimentos en forma de esfera, ¿se ha demostrado un resultado matemático que acabaría con el hambre en el mundo?

El resultado es solo teórico

Es una pena, pero la respuesta es no. Este resultado es solo teórico (que no es poco), y no se puede realizar en el mundo real por varios motivos. El primero de ellos, es que una de las ocho piezas es un punto que físicamente no es un concepto real.

Paradoja de Banach-Tarski: resultado
El resultado de esta paradoja es solo teórico

Por otro lado, las piezas son conjuntos no medibles, es decir, conjuntos que por sus características no se les puede asignar una medida y por tanto, tampoco se pueden construir en la realidad.

Un teorema, cuanto menos, muy curioso

A continuación os dejamos un vídeo muy gracioso que realizaron los alumnos de una universidad sueca parodiando este resultado:

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