Regla de Barrow: qué es, cómo se aplica y su relación con el teorema fundamental del cálculo

• Francisco María
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• • 19/11/2025 09:00
  • Actualizado: 19/11/2025 12:19

La Regla de Barrow es uno de esos resultados del cálculo que sorprenden por su sencillez y, al mismo tiempo, por lo profunda que es la idea que encierra. A primera vista parece solo una “fórmula para resolver integrales definidas”, pero en realidad es una de las piezas clave que conecta la derivación y la integración. Su importancia va mucho más allá de los ejercicios: está presente en física, en geometría y en cualquier situación donde queramos medir cómo algo se acumula a lo largo de un intervalo.

Explicada en palabras simples, la Regla de Barrow dice que para calcular una integral definida basta con encontrar una primitiva de la función y evaluarla en los extremos. Eso convierte un proceso que podría parecer complejo, sumar infinitos pequeños aportes, en una operación directa y manejable.

¿Qué es exactamente la Regla de Barrow?

En términos matemáticos, la regla se escribe así:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

donde $F$ es una primitiva de $f$, es decir, una función cuya derivada es justamente $f$.

La elegancia de esta expresión está en que nos permite resolver integrales definidas sin necesidad de recurrir a métodos geométricos o aproximaciones. Solo hace falta encontrar una antiderivada y evaluar. Y lo mejor es que da igual qué primitiva usemos, porque todas difieren únicamente en una constante que se cancela cuando restamos $F(b)-F(a)$.

La regla funciona incluso si el integrando es complicado, siempre que tengamos una primitiva conocida o podamos obtenerla mediante técnicas habituales como sustituciones o integración por partes.

¿Por qué funciona la Regla de Barrow?

La razón profunda es que derivar e integrar son operaciones opuestas. Si derivamos una primitiva, volvemos a la función original, y si integramos una función acumulando sus valores, obtenemos otra función cuyo crecimiento refleja exactamente ese proceso de acumulación.

Geométricamente, la integral definida representa el área neta bajo la curva entre los puntos $a$ y $b$. Al usar una primitiva, estamos midiendo cuánto cambia esa función acumuladora entre esos dos valores. Ese cambio coincide justamente con el área que queremos calcular.

Por eso la Regla de Barrow no es solo una fórmula útil: es la expresión de una relación muy profunda en el análisis matemático.

Cómo se aplica la Regla de Barrow paso a paso

Aunque la regla es corta y fácil de recordar, conviene recorrer los pasos con calma para no perderse en el procedimiento:

1. Identificar la función integrando

Es la función dentro del signo de integral.
Por ejemplo, en

∫02(3×2−1) dx,\int_{0}^{2} (3x^2 – 1)\,dx,∫02​(3×2−1)dx,

la función integrando es f(x)=3×2−1f(x) = 3x^2 – 1f(x)=3×2−1.

2. Buscar una primitiva

Debemos encontrar una función cuya derivada sea la que aparece en la integral.
En el ejemplo:

F(x)=x3−x.F(x) = x^3 – x.F(x)=x3−x.

3. Evaluar la primitiva en los extremos del intervalo

Sustituimos primero $b$ y después $a$:

$$F(2)=8-2=6,F(0)=0.$$

4. Restar

La diferencia nos da el valor total de la integral:

∫02(3×2−1) dx=6−0=6.\int_{0}^{2} (3x^2 – 1)\,dx = 6 – 0 = 6.∫02​(3×2−1)dx=6−0=6.

Si se sigue este procedimiento de manera ordenada, prácticamente cualquier integral definida accesible se convierte en un cálculo directo.

Ejemplo más elaborado

Consideremos ahora una integral que requiere un paso adicional:

∫14xx+1 dx.\int_{1}^{4} x\sqrt{x+1}\,dx.∫14​xx+1​dx.

Aquí conviene hacer un cambio de variable.
Tomemos $u=x+1$, lo que implica $x=u-1$ y $du=dx$.
Los límites pasan a ser 2 y 5.

Reescribimos la integral:

∫25(u−1)u du.\int_{2}^{5} (u – 1)\sqrt{u}\,du.∫25​(u−1)u​du.

Expandimos para simplificar:

∫25(u3/2−u1/2) du.\int_{2}^{5} (u^{3/2} – u^{1/2})\,du.∫25​(u3/2−u1/2)du.

Buscamos primitivas:

25u5/2−23u3/2.\frac{2}{5}u^{5/2} – \frac{2}{3}u^{3/2}.52​u5/2−32​u3/2.

Ahora aplicamos la Regla de Barrow evaluando en 5 y en 2. El resultado final se obtiene restando ambas evaluaciones. Este tipo de ejercicio muestra cómo Barrow es el último paso natural tras preparar la integral.

Relación con el Teorema Fundamental del Cálculo

La Regla de Barrow es, en realidad, la versión práctica de la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC). El TFC afirma dos ideas esenciales:

1. Si definimos

   G(x)=∫axf(t) dt,G(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt,G(x)=∫ax​f(t)dt,

   entonces G′(x)=f(x)G'(x) = f(x)G′(x)=f(x).
   Es decir, $G$ es una primitiva.

2. La integral definida entre $a$ y $b$ se puede expresar como la variación de esa primitiva:

   ∫abf(x) dx=G(b)−G(a).\int_a^b f(x)\,dx = G(b) – G(a).∫ab​f(x)dx=G(b)−G(a).

Como $G(a)=0$, cualquier otra primitiva $F$ sirve para escribir:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,dx = F(b) – F(a).∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a).

Así, la Regla de Barrow no es un truco ni una fórmula aislada: es la manifestación directa del vínculo entre diferenciar e integrar.

Importancia conceptual y aplicaciones

La Regla de Barrow tiene un uso enorme porque:

• Permite calcular integrales definidas sin recurrir a aproximaciones gráficas.

• Ayuda a comprender la relación entre acumulación y variación.

• Es indispensable en física: describe energía, trabajo, distancia recorrida, carga eléctrica acumulada…

• Es clave en ingeniería, biología y economía, donde se miden procesos continuos.

Su fuerza reside en que reduce un proceso aparentemente infinito a una resta entre dos valores. Comprenderla a fondo no solo facilita los cálculos, sino que abre la puerta a una visión más clara del análisis matemático y de su capacidad para describir fenómenos reales.

Lecturas recomendadas

La regla de Barrow

Cuadernillo de integrales