Regla de Ruffini: cómo usarla para dividir polinomios de forma rápida y sencilla

• Francisco María
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• • 19/11/2025 10:56
  • Actualizado: 19/11/2025 10:56

La Regla de Ruffini es una de esas técnicas que todos hemos visto alguna vez en clase y que, cuando por fin entendemos bien, se vuelve sorprendentemente útil. Permite dividir polinomios sin necesidad de hacer la división larga, que suele ser más laboriosa y propensa a errores. Aunque a primera vista parezca un truco aislado, en realidad se conecta con ideas importantes del álgebra, como el teorema del resto o la búsqueda de raíces de un polinomio.

Hay una condición clave que conviene tener muy presente desde el inicio: solo se puede aplicar cuando dividimos por un binomio de la forma x−a. Si el divisor tiene coeficientes diferentes o es un polinomio más complejo, Ruffini ya no funciona. Bajo esta condición, sin embargo, se transforma en un atajo elegante y muy práctico.

¿Por qué es útil la Regla de Ruffini?

El procedimiento tradicional de división de polinomios no es difícil, pero sí largo, especialmente cuando trabajamos con grados altos o coeficientes incómodos. El matemático Ruffini simplifica todo ese camino a una secuencia de sumas y multiplicaciones, lo que reduce muchísimo el tiempo que dedicamos a cada operación.

Además, su utilidad va más allá de la simple división. Con Ruffini también podemos:

• Evaluar un polinomio en un punto sin sustituir y expandir.
• Verificar si un número es raíz de un polinomio.
• Reducir el grado de un polinomio para factorizarlo paso a paso.
• Encontrar raíces enteras o racionales de forma ordenada.

Por eso sigue siendo un recurso frecuente incluso en cursos más avanzados, donde la factorización y el análisis de polinomios son herramientas centrales.

Cómo aplicar la Regla de Ruffini paso a paso

Para explicar el procedimiento, supongamos que queremos dividir un polinomio P(x) entre un divisor del tipo x−a. El método consiste en organizar los coeficientes y aplicar una secuencia repetitiva de operaciones muy sencilla.

Los pasos siguen este patrón:

Identificar el valor de a

Si el divisor es x−4, entonces a=4.

Si es x+3, lo reinterpretamos como x−(−3), así que a=−3.

Escribir todos los coeficientes del polinomio

Deben aparecer en orden, incluyendo los coeficientes de términos ausentes.
Por ejemplo, en 4×5−x2+6, faltan x4, x3 y x, así que los coeficientes serían: 4,0, 0, -1, 0, 6.

Colocar el valor de a a la izquierda del esquema

Es el número con el que multiplicaremos los resultados parciales.

Bajar el primer coeficiente

El primer número pasa directamente a la fila inferior sin modificaciones.

Multiplicar y sumar de forma repetida

• Multiplicamos el valor que acabamos de obtener por a.
• Colocamos el resultado bajo el siguiente coeficiente.
• Sumamos verticalmente.
• Repetimos hasta llegar al último coeficiente.

Interpretar el resultado

• El último número de la fila inferior es el resto.
• El resto forman los coeficientes del cociente, cuyo grado es uno menos que el del polinomio original.

Ejemplo práctico paso a paso

Dividamos: P(x)=2×3−3×2+4x−5 entre x-2

Aquí

a=2.

1. Coeficientes

El polinomio está completo:
2, −3, 4, −5

2. Esquema inicial

2 | 2 -3 4 -5

3. Bajamos el primer coeficiente

2 | 2 -3 4 -5
|
| 2

4. Multiplicación y suma

Multiplicamos: 2 × 2 = 4
Sumamos: −3 + 4 = 1

Luego: 1 × 2 = 2
Sumamos: 4 + 2 = 6

Luego: 6 × 2 = 12
Sumamos: −5 + 12 = 7

Resultado:

2 | 2 -3 4 -5
| 4 2 12
———————
2 1 6 7

El cociente es: 2×2+x+6

y el resto: 7

Relación con el Teorema del Resto

El Teorema del Resto dice que, si dividimos un polinomio por

x−a, el resto es simplemente el valor de P(a). Ruffini es una forma ordenada y veloz de llegar a ese resultado sin sustituir directamente.

En nuestro caso:

P(2)=7

exactamente el resto que obtuvimos.

Uso de Ruffini para factorizar polinomios

Cuando queremos hallar las raíces de un polinomio, Ruffini es una gran aliada. El procedimiento habitual consiste en:

• Probar posibles raíces racionales (normalmente divisores del término independiente).
• Aplicar Ruffini a esos valores.
• Si el resto es cero, la raíz es correcta y el polinomio se reduce.
• Repetir el proceso con el polinomio reducido.

Así podemos descomponer polinomios de grados altos en factores cada vez más simples hasta llegar a expresiones manejables.

Conclusión

La Regla de Ruffini es, en esencia, una forma rápida, ordenada y eficaz de trabajar con polinomios. Aunque su ámbito de uso es limitado a divisiones del tipo x−a, dentro de ese marco es un instrumento potentísimo. Facilita divisiones, evaluaciones, factorizaciones y verificaciones de raíces con una claridad difícil de igualar mediante otros métodos.

En matemáticas, como en casi todo, la práctica hace la diferencia: cuanto más uses Ruffini, más natural se volverá, y acabarás viéndola no como un truco escolar sino como un recurso cómodo y versátil.

Dominar Ruffini es, en esencia, tener un recurso que agiliza de forma notable todo el trabajo polinómico. Y como ocurre con todo procedimiento matemático, el dominio llega sobre todo con la práctica: cuanto más la uses, más natural te resultará.

Lecturas recomendadas

Polinomios, división, regla de Ruffini

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