Cómo calcular el rango de una matriz

¿Cómo calcular el rango de una matriz? Este tema del álgebra con matrices puede ser algo difícil de entender, pero lo cierto es que si sabemos a qué corresponde exactamente el rango de una matriz, de qué se compone y cómo podemos realizar correctamente los pasos para su cálculo, ya veréis cómo no resulta tan complicado averiguar su rango.

Primero de todo, tenemos que saber que el rango de una matriz, corresponde al número de líneas de esa matriz (formadas por filas y columnas) las cuáles son linealmente independientes, es decir, cuando no podemos establecer una combinación lineal entre ellas. En la definición matemática para rango de una matriz tenemos que será «el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula», es decir, que a partir de esta, podemos calcular el rango siguiendo los siguientes pasos.

Pasos para calcular el rango de una matriz

Para saber cómo calcular el rango de una matriz y a partir de la definición que acabamos de daros, podemos utilizar un método, llamado método de Gauss, que consiste un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales en el que podemos eliminar linea (fila o columna) de nuestra matiz si cumplen los siguientes requisitos:

• Todos sus coeficientes son ceros.
• Tenemos dos líneas iguales
• La línea es proporcional a otra
• La línea surge a partir de la combinación lineal de otras.

De este modo, si tenemos el siguiente rango de una matriz:

1. Lo primero de todo es ver cuál es la dimensión de la matriz, a la que queremos calcular el rango. La dimensión nos dirá cuál es el rango máximo que vamos a encontrar para esa matriz.
2. De este modo, si tenemos la matriz A de dimensión 4 (número de filas) x 6 (número de columnas), esto significa que el rango máximo que voy a poder tener en mi matriz será cuatro, porque el rango corresponde al determinante más grande de 0 que podamos encontrar dentro de nuestra matriz y como la nuestra tiene dimensión 4×6, el determinante más grande que podemos encontrar estará determinado por el número más pequeño entre el número de filas y columnas, en este caso, el cuatro.
3. A continuación, nos podemos fijar en que la fila cuatro es el resultado de la fila 2 más la fila 3 por lo que podemos eliminarla ya que cumple una de las reglas mencionadas anteriormente. Entonces nos quedará:
   

   	1	2	3	0	-1	4
   A=	3	-1	0	1	1	2
   	4	1	3	1	0	6

4. Y ahora nos fijamos en que la fila tres el resultado de la suma de la fila 1 más la fila 2, de modo que también la podemos eliminar quedando el siguiente rango de matriz:
   

   	1	2	3	0	-1	4
   A=	3	-1	0	1	1	2

5. Nuestro rango de matriz se ha quedado ahora en una dimensión de 2×6, es decir dos columnas y seis filas por lo que ahora podemos comprobar que el rango máximo de nuestro matriz será 2 y si miramos el determinante que forman 1,2,3 y -1 dentro del rango de matriz y lo calculamos obtendremos que 1-1= -1 y que 3×2=6, lo que nos dará -7 que es distinto de 0.
6. Por lo tanto como el rango máximo es el dos y hemos encontrado un determinante de orden 2 distinto de 0, ya podríamos decir que el rango de la matriz es igual a 2