Descubre qué es la paradoja de Banach-Tarski

¿Puede descomponerse una bola en un número finito de conjuntos de puntos y reensamblarse para dar como resultado dos bolas idénticas a la original? De esta teoría y duda parte el teorema en geometría teórica de los matemáticos Stefan Banach y Alfred Tarski.

Al parecer ha sido fuertemente criticada por el resto de colegas de profesión por establecer algo que realmente no es real. ¿Por qué? esto sucedió cuando publicaron un artículo y dieron una construcción de trabajos anteriores sobre el intervalo unidad y las descomposiciones de subconjuntos de espacios euclídeos en varias dimensiones.

Se establece que lo que dijeron y las conclusiones a las que llegaron son una paradoja porque las piezas solo deben ser rotadas, y no alteradas en su forma o volumen. Pues las piezas separadas no pueden cambiar su volumen, pero sí cambia el volumen final de los objetos.

La forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski es falsa para diversas dimensiones, pero ambos mostraron que una proposición análoga se mantiene verdadera si se permiten muchos subconjuntos.

Ello se explica mejor con objetos. Normalmente se ha demostrado la paradoja de Banach-Tarski en la ilusión del chocolate infinito. Esto consiste en que una barra de chocolate de 8 x 4 puede ser trozada para que se vuelva a formar una barra de chocolate de 8 x 4 pero además sobre un trozo.

Por otro lado, aquí entra en juego la teoría de la medida que establece una serie de parámetros, como que no puede ser negativa pero si aditiva, porque la medida de la unión de varios objetos sin partes comunes debe ser igual a la suma de las medidas de los objetos por separado. En la demostración se construye un subconjunto que no puede tener por su propia construcción ninguna medida asociada.

Además las piezas son conjuntos no medibles, pues por sus características no se les puede asignar una medida y, por tanto, tampoco se pueden construir en la realidad. De manera que el resultado de los matemáticos es una teoría nada real como hemos especificado y no es realizable realmente porque una de las ocho piezas es un punto que físicamente no es un concepto real.