Teorema de tales: ¿en qué se basa?

Tales de Mileto fue uno de los grandes filósofos de la Antigua Grecia, pero también fue un gran matemático al que se le atribuyen varias teorías que con el tiempo se han establecido en la base matemática. Tanto en física como en matemáticas, el teorema de Tales es uno de esos que deberías aprender de memoria para poder aplicarlo. Se trata de una serie de reglas que siempre se cumplen, por lo que no admite excepciones y resulta extremadamente provechoso.

Claro que si no tienes del todo claro qué es un teorema, lo primero que debemos aclarar es que se trata de una fórmula o enunciado que define una verdad que puede demostrarse a través de ejemplos. Tanto en física como en matemáticas hay diversos teoremas.

¿Por qué se llama teorema de Tales?

Tales de Mileto fue un filósofo, físico, matemático y legislador griego que desarrolló dos teoremas básicos que llevan su nombre. Aunque ambos son útiles en ciertas situaciones, el primero de ellos es el más conocido y el que le ha valido su popularidad actual. Por eso, aclarando que el segundo aborda la construcción de ángulos rectos, vamos a centrarnos en el primero -el de los triángulos-.

Según la ley geométrica de este filósofo griego, si trazamos una línea paralela a cualquier lado de un triángulo lo que conseguiremos será otro triángulo semejante al original. Cuando hablamos de semejantes, esto quiere decir que guardan una proporción, compartiendo sus lados y sus ángulos. Este teorema surgió tras arduas investigaciones de Tales sobre el papel de las paralelas.

Primer teorema de Tales

A partir de lo mencionado, el primer teorema de tales establece que:

«Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado».

La fórmula de este teorema sería la siguiente:

Lo curioso, sin embargo, es que se hizo famoso por ser el primero en detenerse en la condición de semejanza de los triángulos. Como sostiene el planteo de Tales, se deduce que la razón entre las longitudes de los lados de ambos triángulos es la misma.

Un caso práctico

Supongamos que tenemos un triángulo cuyos lados miden cinco centímetros cada uno, y se realiza una línea paralela a ellos. Estaríamos creando un nuevo triángulo semejante al primero, con dos lados de dos centímetros cada uno. Si intentamos calcular cuál es el cociente entre el primer y el segundo ángulo, no debería sorprendernos que el resultado sea idéntico. Y esta teoría nunca deja de cumplirse. Independientemente de cuánto miden los lados del primer y el segundo, sus cocientes serán iguales.

En la vida diaria, es posible usar el teorema de Tales para averiguar las alturas o las sombras que produce un cuerpo expuesto al sol. Incluso, se dice que Tales elaboró el teorema que llevaría su nombre intentando develar cuál era la altura de la Pirámide de Keops.